Геометрическое учебное пособие "Треугольная пирамида", Караганда

Геометрические модели предназначены для повышения эффективности обучения в школах и дошкольных учреждениях. Модели устроены по принципу телескопических стержней. В основе этих моделей заложен принцип трансформации, позволяющий из одной геометрической фигуры получать другую, затем ее преобразовывать в следующую фигуру и т.д. Данные модели обеспечивают наглядность процесса, что позволяет решать многие проблемы обучения.
Главный вопрос обучения геометрии- как развивать воображение и как прививать навыки логического мышления. Для достижения этих целей необходимо широко использовать наглядность в обучении геометрии и метод конструктивного моделирования.

Геометрическое учебное обучающее пособие "Треугольная пирамида" и основные трансформации

Прежде чем начать работать с моделями следует знать, что для манипуляций и преобразований нужно последовательно работать только с каждой из сторон в отдельности. Для осуществления каждого следующего превращения нужно каждую из сторон последовательно закрыть до упора.

Получение геометрических фигур из модели треугольной пирамиды

Для осуществления превращения нужно каждую из сторон треугольной пирамиды АВСD последовательно закрыть до упора и получить правильную треугольную пирамиду (тетраэдр).
1. Ромб – получается из исходной пирамиды вытягиванием стороны BD
2. Квадрат – получается из ромба вытягиванием стороны АС и укорачиванием DB
3. Трапеция - получается вытягиванием стороны АВ, в результате диагонали АС и BD вытягиваются сами.
4. Параллелограмм - получается вытягиванием стороны DС и диагонали АС. Тут можно демонстрировать действие над векторами (сложение и вычитание).
5. Прямоугольник - получается вытягиванием BD и укорачивание АС
6. Треугольник
а) Закрыть каждую из сторон модели последовательно до упора – получется исходное положение.
б) Все стороны основания пирамиды АВС надлежит вытягивать до тех пор пока ребра DА, DВ, DС уместятся в плоскости треугольника АВС
7. Признаки равенства треугольников

Необходимо отсоединить АD в точке D,
а АС и ВD вытягивать до тех пор,
пока вершина D не совпадет с вершиной А.
8. Свойства равнобедренного треугольника
Исходное положение - тетраэдр. В начале надо получить ромб,
затем вытягивать стержни СВ, АВ и DВ.

1. Пирамида

Пирамиду можно получить из треугольника (6 пункт.)

Вершина D начинает удаляться от вершин А, В и С и образуется треугольная пирамида.

9.1 Правильная треугольная пирамида DА=DВ=DС и АВ=ВС=АС.
9.2 Проекция треугольника DАС на плоскости АВС получается вытягиванием DА и DС до тех пор пока DВ не станет перпендикулярен к плоскости АВС.
9.3 Теорема о трех перпендикулярах.

ВС и АС необходимо вытягивать до тех пор пока сторона СА не станет перпендикулярна АВ. Изучая теорему о трех перпендикулярах, учащимся предлагается преобразовать четыре треугольника пирамиды АВСD в прямоугольные треугольники, что оказывается не так уж и просто. Когда многочисленные попытки учеников не дают результатов, учитель, уступающий в смекалке ученикам, но превосходящий в знаниях, показывает чудо о трех перпендикулярах.

9.4 Плоскости (DСА) и (DВС) перпендикулярны к плоскости АВС. Из этого следует что линия пересечения плоскостей DС перпендикулярна к плоскости АВС.
10. Решение задач

Задача. Дано: пирамида с ребрами а, в, с, которые взаимно перпендикулярны. Найти объем пирамиды.

Ещё о трансформациях

Из этой модели можно получить все виды треугольной пирамиды. Прежде чем начать работать с моделями, следует знать, что для манипуляций и превращений нужно последовательно работать только с каждой из сторон в отдельности. Особый интерес представляет пирамида, которая демонстрирует теорему о трех перпендикулярах.
SB⊥(ABC)
AC⊥CS следует AC⊥BC и AC⊥BC следует AC⊥CS

При помощи этого типа моделей можно решать многочисленные задачи. Из этой модели можно получить все виды четырехугольников и треугольник, для пострения которого надо сделать следующее: все стороны основания пирамиды A, B и C надлежит вытянуть, а ребра SA, SB и SC уменьшать в длине до тех пор пока они уместятся в плоскости тругольника ABC.

Построение сечений

Для построения сечений в комплект входят вспомогательные стержни, которые позволяет получить любые сечения. В этом нетрудно убедиться, если замечаем, что стержни могут закрепляться в любых комбинациях. В треугольной пирамиде с помощью вспомогательных стержней, как показано на рисунке, демонстрируем то сечение, которое представляет четырехугольник. Между прочим, с их помощью можно построить высоту, медиану, биссектрису и т.д. Вспомогательные стержни могут служить также для замены вышедших из строя стержней моделей.
Решение задач.

До того, как перейти к решению задач, надо отметить, что модели незаменимы для получения чертежей пространственных тел на фоне доски. Держа модель соответствующим образом у доски, можно начертить и себя так, как видно. Для решения задач, касающихся треугольной пирамиды надо использовать четырехугольную пирамиду, которая благодаря тому, что модифицируется в различные треугольные пирамиды, дает возможность демонстрировать решения конкретных задач.

Задача 1.
Имеем треугольную пирамиду с равными ребрами, основанием которой является прямоугольный треугольник.
Высота такой пирамиды проходит через центр описанной окружности. Центр окружности находится в середине гипотенузы.

Задача 2. Имеем пирамиду с ребрами а, b, c, которые взаимно перпендикулярны. Надо найти объем пирамиды.
Задача получает простое решение, если перевернуть пирамиду. Как видим получилось пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, где известны длины катетов основания (а основание это прямоугольный треугольник) и длина высоты. Таким образом, объем пирамиды равен а b c / 6.
С помощью наших моделей превосходным образом демонстрируется возможность получения чертежей пространственных геометрических тел на доске.

Задача 3.
Доказать, что в любую пирамиду можно вписать сферу.
Это одна из самых труднейших задач стереометрии.
Проводим сечение, которое проходит через биссектрису двухгранного угла CABD. То же самое с другим двухгранным углом ВАСD. Она пересекаются по прямой АН. Если проведем третье сечение, то оно пересечется со вторым сечением по прямой СМ. Точка пересечения СН и СМ является центром вписанной сферы, т.к. равноудалена от всех граней.

Характеристики геометрического учебного пособия “Треугольная пирамида“

• — Страна производитель: Армения
• — Бренд: НАНЭ